Fracciones

Tipos de fracciones

Una fracción expresa la división de un todo en partes; el denominador representa el divisor (o las partes en que se divide la unidad) y el numerador, al dividendo (o las partes que se toman luego de dividirse la unidad). Por ejemplo, 1/2 representa una fracción, donde 1 es el numerador y 2 el denominador.

Existen tres tipos de fracciones:

1. Fracciones propias

Las fracciones propias son aquellas que tienen un numerador que es menor que el denominador. Es decir, el número en la parte superior es menor que el número de la parte inferior.

Algunos ejemplos de fracciones propias son los siguientes:

Características de la fracciones propias

Entre las características de las fracciones propias podemos señalar:

• La fracción inversa a una fracción es una fracción impropia.

• Entre las características de las fracciones propias podemos señalar:

A diferencia de una fracción impropia, una fracción propia no puede convertirse en una fracción mixta (aquella que tenga un componente entero y otro fraccional).

2. Fracciones impropias

Una fracción impropia es una fracción en la cual el numerador (número de arriba) es mayor que o igual al denominador (número de abajo). Fracciones tales como 6/5 o 11/4 son “impropias”.

Son las fracciones impropias incorrectas? No, son realmente solo otra forma de escribir un número mixto .

Para las matemáticas, las fracciones impropias son actualmente más fáciles de usar que las fracciones mixtas. Pero, para el uso diario, la gente entiende mejor los números mixtos. Así, es importante que sepa como convertir de una forma a la otra.

Ejemplo:

Escriba el número mixto como una fracción impropia.


Primero, escriba el número mixto como una suma de un número entero y una fracción propia. Luego escriba las dos partes con el denominador común , y sume.

3. Fracciones mixtas

Las fracciones mixtas son aquellas que tienen un componente entero y otro fraccional.

Este tipo de fracción, en otras palabras, tiene dos elementos. Uno es un número entero y el otro es una fracción, como observamos en el siguiente caso:

En el primer ejemplo, 3, sería la entera, mientras que 1/4 sería el componente fraccional.

Debemos recordar que una fracción es la división de un número en partes iguales. Se constituye normalmente, cuando no es mixta, por dos números, ambos separados por una línea recta o inclinada. El número que va arriba es el numerador, mientras que el que queda debajo recibe el nombre de denominador.

Otro concepto que debemos recordar es el de número entero, que es todo aquel que representa una cantidad exacta, es decir, sin decimales.

Uso de las fracciones mixtas

Las fracciones mixtas se suelen usar, principalmente, en un contexto más cotidiano, y no tanto en el ámbito académico o matemático.

Por ejemplo, imaginemos que se compran dos tortas para una fiesta, las cuales se dividen, cada una, en doce pedazos.

Si durante la reunión se consumen solo 9 pedazos, entonces lo común es decir que queda una torta completa y 1/4 (o 3/12) de la otra torta. Esto, en lugar de decir que quedan 15/12 de torta.

Cabe explicar que son quince pedazos los que quedan, porque son doce pedazos de la torta que está entera y 3 (que es el equivalente a 1/4 de 12) de la torta que está incompleta.

Números Irracionales

 Los Números Irracionales 

Los números son conceptos matemáticos que representan una determinada cantidad en relación a una unidad. Dentro de estas expresiones matemáticas, se identifican los números racionales y los irracionales:

Números racionales. Son aquellos que se pueden expresar en forma de fracción, con un denominador que no sea cero. Básicamente se trata del cociente de dos números que sean enteros. Por ejemplo: 1/3, 2/4, 5/4.

Números irracionales. En oposición a los números racionales, estos no pueden expresarse en forma de fracción porque cuentan con cifras decimales no periódicas de manera interminable o infinita. Por ejemplo: √5, √685, √201, √609.

Ejemplos de números irracionales:

1. π (pi). Es el número irracional más conocido y se trata de la expresión de la relación que existe entre el diámetro de una esfera y su longitud. Pi equivale a 3.141592653589 (…), aunque en general se lo conoce simplemente como 3.14.

2. √5 = 2.2360679775

3. √123 = 11.0905365064

4. e. Se trata del número de Euler y es la curva que se observa en los tejidos eléctricos y que figura en procesos tales como las radiaciones radiactivas y los procesos de crecimiento. El número de Euler es: 2.718281828459.

5. √47 = 6.8556546004

6. √8 = 2.82842712475

7. √78 = 8.83176086633

8. √201 = 14.1774468788

9. √609 = 24.6779253585

Los número irracionales en la vida cotidiana

Algunos de los usos que tienen los números irracionales son:

Calcular circunferencias. El número irracional π es usado para calcular la circunferencia de un círculo. Para ello se utiliza la fórmula C=πd en la que se multiplica el diámetro por el número pi. Esta función es indispensable para la fabricación de elementos de uso cotidiano como relojes, ruedas y discos de vinilo. También se usa para realizar las figuras geométricas de un campo de fútbol.

Construir estructuras cilíndricas. Se usa el número irracional π dentro del ámbito de la construcción para realizar estructuras con forma de cilindro. También se usa para fabricar elementos o bienes con esa forma, como velas, rollos de papel, botellas, garrafas, latas, entre otros.

Calcular volúmenes. Se usa el número irracional π para calcular los volúmenes de figuras geométricas circulares. Esto es útil para conocer el contenido que puede albergar este tipo de estructuras.

Calcular tasas de interés compuesto. Se usa el número irracional e en la fórmula que se emplea para calcular una capitalización continua y prever un capital futuro en base a un capital inicial y sus intereses.

Calcular el crecimiento continuo de poblaciones. Se usa el número irracional e dentro del ámbito de la biología para calcular el crecimiento continuo en poblaciones de seres vivos. Esta fórmula se aplica en el modelo del economista inglés Thomas Malthus.

Calcular probabilidades. Se usa el número irracional e dentro de la teoría de las probabilidades para determinar los resultados posibles frente a un evento determinado.

Propiedades De La Suma

Las Propiedades De La Suma

La suma tiene tres propiedades que son: conmutativa, asociativa y elemento neutro.

Vamos a conocer las propiedades de la suma a través de una situación cotidiana. La preparación de la mochila para el colegio.

Buscamos una mochila vacía y la abrimos. Primero metemos 3 cuadernos grandes y luego 6 cuadernos pequeños. ¿Cuántos cuadernos hay en la mochila?

Para resolver esta pregunta solo hay que sumar la cantidad de cuadernos grandes más la cantidad de cuadernos pequeños.

3 + 6 =

3 + 6 = 9

Hay 9 cuadernos en la mochila.

¿Seguiría habiendo 9 cuadernos en la mochila si hubiésemos metido primero los cuadernos pequeños y luego los grandes?

Vamos a verlo:

6 + 3 =

6 + 3 = 9

Sí, seguiría habiendo 9 cuadernos.

El resultado de la suma será el mismo sin importar el orden de los sumandos (que en este caso son 3 y 6).

Esta es la primera de las propiedades de la suma y la conocemos como PROPIEDAD CONMUTATIVA

Es una propiedad muy útil cuando tienes que sumar dos cantidades y una de ellas es mayor que la otra. Si tienes que sumar 3 + 34, será más fácil si comienzas con 34 y le añades 3 que al revés. ¡Pruébalo! La próxima vez que tengas que hacer una suma, comienza con la cantidad mayor.

Ahora sigamos con la preparación de la mochila, vamos con el estuche…

Buscamos un estuche vacío y metemos dentro 3 lápices verdes, 8 lápices amarillos y 2 azules. ¿Cuántos lápices hay en el estuche?

Para saber cuántos hay los sumamos:

3 + 8 + 2 = 13

¿Cómo se resuelve esta suma?

¿Sumando primero tres más ocho y añadiéndole al resultado dos?

(3+8) + 2 = 13

¿O sumando primero ocho más dos y añadiéndole al resultado tres?

3 + (8+2)= 13

Puede resolverse de cualquiera de las dos maneras y el resultado va a ser el mismo.

Cuando tenemos tres o más sumandos, es posible comenzar sumando los dos primeros y al resultado sumarle el tercero, o al revés, comenzar sumando el segundo y el tercero y al resultado sumarle el primero.

Esta es la segunda de las propiedades de la suma y la conocemos como: PROPIEDAD ASOCIATIVA.

La propiedad asociativa también puede ayudarnos a resolver las sumas. ¡Aprovéchate de la propiedad asociativa y haz las agrupaciones que más te convengan! En este caso es más fácil la segunda opción, comenzar sumando ocho más dos porque sabemos que da diez.

Terminemos de preparar la mochila, ¡solo falta la merienda!

Guardamos en la mochila 4 galletas de chocolate y 0 de avena. ¡No tenemos galletas de avena! ¿Cuántas galletas hay en total en la mochila?

4 + 0 = 4

Hay 4 galletas en la mochila.

La suma de cualquier número más cero (0) es igual al mismo número. Por eso el cero (0) es el ELEMENTO NEUTRO de la suma.

Elemento neutro el 0, porque cualquier entero sumado con 0 tiene como suma a dicho entero. Se llama así al número que, sumado con otro, nos da como suma el elemento neutro

Los Números Primos

 

¿Qué son los números primos?

Los números primos son uno de los componentes básicos de las matemáticas. Algunas personas los memorizan, otras personas dedican gran potencia de su cerebro para calcular números primos más y más grandes. Los números primos son un concepto bastante básico y fácil de entender con un mínimo de comprensión en matemáticas. Así que si quieres aprender cuáles son los números primos.

Básicamente, un número primo es un número natural que tiene solo dos divisores o factores: 1 y el mismo número. Es decir, es primo aquel número que se puede dividir por uno y por el mismo número.

El primer número primo es 2, y hay 25 números primos entre 1 y 100, ellos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97.

Veamos un ejemplo sencillo:

Como dijimos, el 2 es primo porque puede dividirse por 1 y por 2, respectivamente. También lo es el 3 (puede dividirse por sí mismo y por 1, pero no por 2) y el 5 (puede dividirse por sí mismo y por 1, pero no por 2, ni por 3, ni por 4).

Ahora, ¿por qué el 4 no es un número primo? Muy fácil, porque el 4 puede dividirse por sí mismo, por 1, pero también por 2 ya que 4/2 = 2 y por lo tanto no cumple la característica que lo convertiría en primo.

La propiedad para que un número sea primo (otra vez, la capacidad de ser solamente divisible por 1 por si mismo) se conoce como primalidad. Como curiosidad debes saber que todos los únicos números primos son impares salvo el 2, esto es bastante obvio ya que a partir del 4 todos pueden dividirse, como mínimo, por el 2 por ser pares.

Tabla de números primos hasta el 100

La siguiente tabla de 10 x 10 marca los "primos" menores a 100.

Historia de los números primos

Existen algunas pruebas —no contundentes— que hablan de indicios de que el hombre ya tenía conocimiento de los números primos hace unos 6000 años. Sin embargo, la primera prueba irrefutable del conocimiento de los números primos data unos 300 años antes de Cristo y puede encontrarse en los "Elementos" de Euclides, donde este sabio define los números primos y comenta que además de existir infinitos también nombra al mínimo común múltiplo e incluso creó una forma de determinar este valor en algo que pasó a conocerse como "algoritmo de Euclides".

Los factores en números primos

Actualmente, la comunidad matemática se inclina por no considerar al 1 en la lista de los números primos. Esto se definió ya por una convención en donde se intenta recalcar que los números primos solo tienen dos factores, el propio número y 1. Por lo tanto, 1 no se considera un número primo, ya que solo tiene un factor, 1.

Pero esto no siempre fue así, de hecho hasta el siglo XIX, los matemáticos en su mayoría lo consideraban primo. Muchos trabajos matemáticos siguen siendo válidos a pesar de considerar el 1 como un número primo como varias listas inmensas de números primos publicadas y que comienzan con el 1.

Factorización de números primos

Los números primos tienen muchas aplicaciones en matemáticas avanzadas, especialmente cuando se utilizan como factores de otros números. Los números que no son primos pueden dividirse en factores primos. Por ejemplo, los factores de 12 en 4 x 3, se pueden dividir en factores primos así, 2 x 2 x 3.

Los Números Enteros

Número Entero

      

Un número entero es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales; que son:

  {N} ={0,1,2,3,4,...}                      

​

Dependiendo de cómo se definan, sus opuestos, y en la segunda definición, además el cero.​

Los enteros negativos, como −1 o −13 (se leen «menos uno», «menos trece», etc.), son menores que cero y también son menores que todos los enteros positivos.

Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, se puede escribir un signo «menos» delante de los negativos: -1, -5, etc. Y si no se escribe signo al número se asume que es positivo.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra 

En la recta numérica los números negativos se encuentran a la izquierda del cero y los positivos a su derecha.

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, siguiendo el modelo de los números naturales añadiendo unas normas para el uso del signo.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

La recta numérica

Los números enteros negativos son menores que todos los positivos y que el cero. Es decir, todo número que se encuentra ubicado a la derecha es mayor que el número que se encuentra ubicado a la izquierda. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:

El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay del origen (cero) hasta un punto dado. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales.

El orden de los números enteros se define como:

• Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a.
• Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es:
• El de menor valor absoluto, si el signo común es «+».
• El de mayor valor absoluto, si el signo común es «−».
• El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.

Los números enteros pueden suma, resta, multiplicación y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales.

Suma

En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.

Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:

• Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
• Si ambos sumandos tienen distinto signo:
•  El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
•  El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.

Resta

La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.

La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiando de signo.

Multiplicación y División

La multiplicación y división de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.

En la multiplicación y en la división de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:

• El valor absoluto es el producto (o cociente) de los valores absolutos de los factores (o del dividendo y divisor).
• El signo es «+» si los signos de los factores (o del dividendo y divisor) son iguales, y «−» si son distintos.

Los Números Naturales

 Números Naturales

En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de ciertos conjuntos, ​​como también en operaciones elementales de cálculo.

Los números naturales son aquellos símbolos que nos permiten representar la cantidad de elementos que tiene un conjunto.

Los números naturales se representan con la siguiente letra: 

N

Como los números naturales sirven para contar no toman en consideración al número cero, pero como se trata de un conjunto que no termina nunca, decimos que ℕ es un conjunto infinito.

Si los representamos en forma de conjunto, los números naturales son:

N={1,2,3,4,5,6,...}                        N={1,2,3,4,5,6,...}

Y si los representamos en la recta numérica sería de la siguiente forma:

Ahora vamos a darle un significado a los números naturales. Como ya se mencionó anteriormente, estos números son utilizados principalmente para contar y para marcar una posición.

Usos de los números naturales

Podría decirse que los números naturales tienen dos grandes usos: se utilizan para especificar el tamaño de un conjunto finito y para describir qué posición ocupa un elemento dentro de una secuencia ordenada.

No obstante, además de esas dos grandes funciones citadas, con los números naturales también podemos llevar a cabo lo que es tanto la identificación como la diferenciación de los diversos elementos que forman parte de un mismo grupo o conjunto. Así, por ejemplo, dentro de un club de fútbol cada socio cuenta con un número que le distingue del resto. Como muestra de ello serviría la frase siguiente: “Manuel es el socio número 3.250 del Fútbol Club Barcelona”.

Principales características

Además de lo expuesto no podemos pasar por alto el hecho de que una de las principales señas de identidad o características que definen a los citados números naturales es el hecho de que los mismos están ordenados. De esta manera, gracias a dicho orden se pueden comparar los números entre sí. Así, por ejemplo, podríamos subrayar en ese sentido que el 8 es mayor que el 3 o que el 1 es menor que el 6.

Ejemplo: 

¿Cuantas manzanas hay?

Hay 3 manzanas

Entonces hasta para contar las cosas que queremos o algo estemos haciendo estamos utilizando los números naturales.

Valor Z

¿Qué es un valor Z?

En estadística, la puntuación Z (o puntuación estándar) de una observación es el número de desviaciones estándar que hay por encima o por debajo de la media de población. Para calcular una puntuación tipificada, debe saber la media y la desviación estándar de la población.

El valor Z es un estadístico de prueba para las pruebas Z que mide la diferencia entre un estadístico observado y su parámetro hipotético de población en unidades de la desviación estándar. 

La conversión de una observación a un valor Z se denomina estandarización. Para estandarizar una observación de una población, reste la media de población a la observación de interés y divida el resultado entre la desviación estándar de la población. El resultado de estos cálculos es el valor Z asociado con la observación de interés.

La gráfica de la distribución normal tiene la forma de una campana, por este motivo también es conocida como la campana de Gauss. Sus características son las siguientes:

• Es una distribución simétrica.
• Es asintótica, es decir sus extremos nunca tocan el eje horizontal, cuyos valores tienden a infinito.
• En el centro de la curva se encuentran la media, la mediana y la moda.
• El área total bajo la curva representa el 100% de los casos.
• Los elementos centrales del modelo son la media y la varianza.

Esta distribución es un modelo matemático que permite determinar probabilidades de ocurrencia para distintos valores de la variable. Así, para determinar la probabilidad de encontrar un valor de la variable que sea igual o inferior a un cierto valor xi, conociendo el promedio y la varianza de un conjunto de datos, se debe reemplazar estos valores (media, varianza y xi) en la fórmula matemática del modelo. El cálculo resulta bastante complejo pero, afortunadamente, existen tablas estandarizadas que permiten eludir este procedimiento.

En el gráfico, el área sombreada corresponde a la probabilidad de encontrar un valor de la variable que sea igual o inferior a un valor dado. Esa probabilidad es la que aprenderemos a determinar usando una tabla estandarizada.

Operaciones Básicas De La Matemática

Las operaciones básicas de la matemática son cuatro: La suma, la resta, la multiplicación y la división.

Suma:

es la operación matemática que consiste en añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total.

La suma es la operación básica en matemáticas que primero se aprende a realizar. También conocida como adición, es la operación matemática que consiste en añadir o combinar dos o más números para conseguir una cantidad final.

Se representa con su símbolo:

Ejemplo:

 

Resta:

La resta es la operación básica contraría a la suma. Conocida también como sustracción, es la operación matemática con la que obtenemos un resultado final, llamado diferencia, después de eliminar de una cantidad cierta parte de ella.

Se presenta con su símbolo:

Ejemplo:

Multiplicación:

La multiplicación es una operación matemática en la que un número es sumado reiteradamente en función de la cantidad de veces que el otro número indica.

Se representa con su símbolo:

Ejemplo:

División:

La división es aquella operación matemática mediante la cual se trata de descomponer un número, al que denominaremos dividendo, en tantas partes como así lo indique otro número, al que llamaremos divisor.

Se representa con símbolo:

Ejemplo: