Semejanzas De Figuras

La semejanza de figuras y sus aplicaciones

Uno de los conceptos geométricos que suele crear cierta confusión es el de "semejanza".

Posiblemente, dicha confusión se deba a que en el lenguaje cotidiano utilizamos el término "semejante" como sinónimo de "parecido". Pero, parecido ¿en qué?, ¿en tamaño?, ¿en forma?...

En matemáticas "dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño".

Observa las figuras del ejemplo siguiente:

Es cierto que a simple vista parecen semejantes, pero ¿realmente tienen la misma forma o solo lo parecen?

Matemáticamente se comprueba que tienen la misma forma cuando sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

Si dividimos la medida de cada lado de la figura grande entre la medida de su lado correspondiente en la figura pequeña obtendremos una cantidad fija (en esta figura ese cociente es 3) que se llama razón de semejanza.

¿Cómo podemos dibujar figuras semejantes?

Para dibujar figuras semejantes podemos utilizar una transformación geométrica llamada homotecia:

Si la razón, k, es mayor que 0 se llama homotecia directa:

Si la razón, k, es negativa se denomina homotecia inversa:

Observa que en las homotecias directas las figuras semejantes quedan al mismo lado y en la misma posición que las originales mientras que en las inversas quedan al lado contrario y giradas respecto de las originales.

Fíjate qué forma más sencilla de dibujar un arbolito (gris) cuyos lados miden el triple (k=3) que los lados del original (verde):

¡Pero recuerda que la superficie que ocupa el árbol grande es 9 veces la superficie del pequeño!

La semejanza en la vida cotidiana

Veamos algunos ejemplos de la vida cotidiana en los que utilizamos el concepto de semejanza:

Una fotografía de tamaño 10x15 cm y su ampliación a tamaño 40x60 cm. son semejantes y guardan la misma proporción tanto a lo ancho como a lo largo (k = 4)

Un topógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para lo que utiliza un mapa. La escala utilizada es de 1:300000, es decir, un centímetro en el mapa representa 300000 cm = 3 km en la realidad.

La construcción de planos o maquetas a escala para edificios, aviones, barcos... requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, es decir, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.

Razón de las áreas y volúmenes en figuras semejantes

Ya sabemos que si dos figuras son semejantes con razón de semejanza r, la razón entre las longitudes de segmentos de una de ellas y sus homólogos en la otra es r, pero ¿Qué pasa con las áreas y con los volúmenes?

Observa los siguientes gráficos:

Fíjate que las fórmulas anteriores son "lógicas":

- Cuando hallamos áreas multiplicamos dos longitudes (base por altura, lado por lado...) por lo que, si ambas longitudes se multiplican por r, el área quedará multiplicada por r y por r, es decir, por r al cuadrado.

- De igual modo, cuando hallamos volúmenes multiplicamos tres longitudes (lado al cubo, lado por lado por lado, área de la base por la altura...) por lo que, si las tres longitudes se multiplican por r, el volumen quedará multiplicado por r al cubo.

Semejanza en triángulos

En geometría se ha estudiado de una manera especial la semejanza de triángulos puesto que son figuras muy sencillas que aparecen en la descomposición de cualquier figura poligonal.

Número π

¿Qué es el número π?

El número pi está representado por la letra del alfabeto griego π. En matemáticas este número hace referencia a una constante que relaciona la longitud de una circunferencia con su diámetro. Se utiliza sobre todo en disciplinas como las matemáticas, geometría, trigonometría o física. La podemos encontrar en gran cantidad de problemas matemáticos y para hallar diferentes áreas, longitudes y volúmenes.

El número pi es un número con infinitos decimales pero aquí te ponemos unos cuántos: 3,141592653589793238462643383. Sin embargo, se suele utilizar de forma redondeada como 3,1416, aunque se puede utilizar con algún decimal más. Debemos tener en cuenta que π es un número irracional, por lo que nunca podremos encontrarlo en forma de fracción.

El valor de pi se extrae de dividir la longitud de una circunferencia entre la longitud de su diámetro. Aunque solo hayamos visto unos cuánto decimales debemos saber que, por ahora, se conocen más de 800.000 decimales de este número pi.

Si bien puede ser redondeado como 3,141592, Pi es un "número irracional", es decir, tiene infinita cantidad de dígitos que se prolongan tras la coma, sin jamás repetir un mismo patrón.

El número Pi (π) se obtiene al dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro. Además, es un número irracional. Esto quiere decir que tiene una infinita cantidad de dígitos que se prolongan tras la coma.

La sola ambición de lograr el valor de Pi más exacto posible ha llevado al desarrollo de nuevos conceptos matemáticos como los algoritmos iterativos y los límites.

No obstante, esta constante tiene aplicaciones prácticas en áreas tan distintas como la ingeniería, física y cosmología.

Triángulos

 ¿Qué es un triángulo?

Un triángulo, es un polígono de tres lados; está formado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o tres puntos no alineados que se llaman vértices.

La suma de los ángulos internos del triángulo siempre suman 180º.

Según sus lados se clasifican en:

• Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados)
  
  
  
• Triángulo isósceles: si tiene dos lados y dos ángulos iguales.
  
  
  
• Triángulo escaleno: si todos sus lados y ángulos son distintos.
  

Según sus ángulos, pueden ser:

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.
• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).

Medida De Tendencia Central

Medida De Tendencia Central

Al hablar de medidas de tendencia central, nos referimos a medidas estadísticas que pretenden resumir en un único valor a un conjunto de valores.

La media, mediana y moda se expresan en la misma unidad que los datos originales.

¿Qué es la media?

La media, también conocida como promedio, es el valor que se obtiene al dividir la suma de un conglomerado de números entre la cantidad de ellos.

Algunas características de la media son:

• Considera todas las puntuaciones
• El numerador de la fórmula es la cantidad de valores
• Cuando hay puntuaciones extremas, no tiene una representación exacta de la muestra

Cómo sacar la Media

Para obtener la Media de un conjunto solo tienes que seguir estos sencillos pasos:

1. Determina el conjunto de valores que buscas promediar.

2. Suma los valores para obtener el total

3. Haz el conteo de la cantidad de valores en el conjunto.

4.Divide la suma del conjunto entre la cantidad de números.

Ejemplo de Media

En una tienda mayorista se quiere calcular el promedio de ventas que realizaron los empleados durante el mes. Para calcular la media se realiza lo siguiente:

¿Qué es la mediana?

La mediana es un conjunto es un valor que se encuentra a la mitad de los otros valores, es decir, que al ordenar los número de menor a mayor, éste se encuentra justamente en medio entre los que están por arriba.

Algunas características de la media son:

• Las operaciones para calcular el valor son muy sencillas de realizar.
• La medida no depende de los valores de las variables, solamente de su orden.
• Generalmente, los valores son enteros.
• Se puede calcular aunque los números que se encuentren arriba y abajo no tengan límites.

Como sacar la Mediana

Los pasos para sacar la mediana son:

1.Ordena todos los números del más pequeño al más grande.

2. Encuentra el número del medio del conjunto.

• Si tienes una cantidad impar: Tacha el número al final de la izquierda, después el primero a la derecha, y repite el proceso hasta quedarte con un número, que será la mediana.
• Si tienes una cantidad par, al final quedarás con dos números en el centro. Súmalos y divídelos entre 2 para obtener la mediana.

Ejemplo de Mediana

• La cantidad de valores es impar

Si se tienen los valores: 9,5,4,2,7, se ordenan: 2, 4, 5, 7, 9. El elemento de en medio es el 5, ya que se encuentra dos valores por encima y dos valores por debajo.

• La cantidad de valores es par

Si se tienen los valores 9,5,4,2, se ordenan: 2,4,5,9. En este caso se toman los dos valores centrales 5 y 4, la mediana es el promedio de ambos: 9

¿Qué es la moda?

La moda es el valor que aparece más dentro de un conglomerado. En un grupo puede haber dos modas y se conoce como bimodal, y más de dos modas o multimodal cuando se repiten más de dos valores; se llama amodal cuando en un conglomerado no se repiten los valores.

Por último, se conoce como moda adyacente cuando dos valores continuos tienen la misma cantidad de repeticiones. En este caso se saca el promedio de ambos.

Las principales características de la moda son:

• Es una muestra muy clara
• Las operaciones para determinar el resultado son muy fáciles de elaborar
• Los valores que se presentan pueden ser cualitativos y cuantitativos

Como sacar la Moda

Los pasos para obtener la moda de un conjunto son:

• Escribe todos los números del conjunto.
• Encuentra el número o los números (en los casos bimodales o multimodales) que aparezcan más veces.

Ejemplo de Moda

Ángulos: qué son y qué tipos existen

Ángulos: qué son y qué tipos existen

¿Qué es un ángulo?

Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen un origen común.

Partes de un ángulo

En un plano, dos semirrectas con un origen común siempre generan dos ángulos.

En el dibujo podemos ver dos, el A y el B.

Están compuestos por dos lados y un vértice en el origen cada uno.

Tipos de ángulos

Hay varios tipos según su tamaño, es decir, en función de los grados que tenga:

• Ángulo agudo: Mide menos de 90° y más de 0 °.
• Ángulo recto: Mide 90° y sus lados son siempre perpendiculares entre sí. En esta entrada del blog puedes aprender todo sobre los ángulos rectos.
• Ángulo obtuso: Mayor que 90° pero menor que 180°. Para saber todo sobre el ángulo obtuso, revisa este post del blog de Smartick.
• Ángulo llano: Mide 180°. Igual que si juntamos dos ángulos rectos. Si quieres aprender más sobre ángulos llanos puedes leer este post de nuestro blog.

Con una imagen lo verás más fácil. Todo ángulo comprendido en la zona rosa es un ángulo agudo, y todo ángulo comprendido en la zona azul es un ángulo obtuso.

Ejemplos de ángulos en la vida cotidiana

A continuación veremos algunos ejemplos de ángulos en nuestra vida cotidiana.

En el cono del helado y en la separación de los siguientes dedos tenemos ángulos agudos, ya que su abertura es menor de 90º.

En la posición de los siguientes dedos en forma de L y en la esquina del corcho podemos observar los ángulos de 90°, rectos.

La apertura del abanico es mayor que 90° y menor que 180°, por lo cual tenemos un ángulo obtuso.

Y por último tenemos un brazo estirado formando un ángulo llano de 180°.

Recta Numérica

La recta numérica  

Una recta numérica es simplemente una representación del ordenamiento de los números reales . Usualmente, marcamos 0 en el medio, los enteros negativos en la izquierda, y los enteros positivos en la derecha:

La flecha indica que la recta "se mantiene avanzando" en ambas direcciones.

Cuando se comparan números, el orden en el cual están colocados en la recta numérica determinará si un número es mayor o menor que otro número. En el ejemplo anterior, los números se vuelven más pequeños a la izquierda y más grandes a la derecha.

Algunas ocasiones quizá deseamos hacer un "acercamiento" en una parte de la recta numérica, como esta amplificación de la parte cerca de –1:

o un "alejamiento" para mostrar enteros más grandes como los 10s o100s:

La recta numérica es un eje graduado con un cero en el origen y está orientada hacia la derecha. Números positivos están colocados a la derecha del cero. Mientras más lejos están del cero, los números son más grandes. Números negativos están colocados a la izquierda del cero.

Esta animación explora la recta numérica desde números pequeños hasta grandes, positivos o negativos, enteros o decimales.

El valor de la escala puede ser elegido como unitario o variable. La opción "Graduación aleatoria" requiere calcular el valor de la escala antes de colocar la etiqueta sobre la línea.

Objetivos de aprendizaje

• Saber localizar los números sobre una línea graduada
• Saber calcular el paso de graduación sobre la recta numérica
• Saber contar saltos.

Fracciones

Tipos de fracciones

Una fracción expresa la división de un todo en partes; el denominador representa el divisor (o las partes en que se divide la unidad) y el numerador, al dividendo (o las partes que se toman luego de dividirse la unidad). Por ejemplo, 1/2 representa una fracción, donde 1 es el numerador y 2 el denominador.

Existen tres tipos de fracciones:

1. Fracciones propias

Las fracciones propias son aquellas que tienen un numerador que es menor que el denominador. Es decir, el número en la parte superior es menor que el número de la parte inferior.

Algunos ejemplos de fracciones propias son los siguientes:

Características de la fracciones propias

Entre las características de las fracciones propias podemos señalar:

• La fracción inversa a una fracción es una fracción impropia.

• Entre las características de las fracciones propias podemos señalar:

A diferencia de una fracción impropia, una fracción propia no puede convertirse en una fracción mixta (aquella que tenga un componente entero y otro fraccional).

2. Fracciones impropias

Una fracción impropia es una fracción en la cual el numerador (número de arriba) es mayor que o igual al denominador (número de abajo). Fracciones tales como 6/5 o 11/4 son “impropias”.

Son las fracciones impropias incorrectas? No, son realmente solo otra forma de escribir un número mixto .

Para las matemáticas, las fracciones impropias son actualmente más fáciles de usar que las fracciones mixtas. Pero, para el uso diario, la gente entiende mejor los números mixtos. Así, es importante que sepa como convertir de una forma a la otra.

Ejemplo:

Escriba el número mixto como una fracción impropia.


Primero, escriba el número mixto como una suma de un número entero y una fracción propia. Luego escriba las dos partes con el denominador común , y sume.

3. Fracciones mixtas

Las fracciones mixtas son aquellas que tienen un componente entero y otro fraccional.

Este tipo de fracción, en otras palabras, tiene dos elementos. Uno es un número entero y el otro es una fracción, como observamos en el siguiente caso:

En el primer ejemplo, 3, sería la entera, mientras que 1/4 sería el componente fraccional.

Debemos recordar que una fracción es la división de un número en partes iguales. Se constituye normalmente, cuando no es mixta, por dos números, ambos separados por una línea recta o inclinada. El número que va arriba es el numerador, mientras que el que queda debajo recibe el nombre de denominador.

Otro concepto que debemos recordar es el de número entero, que es todo aquel que representa una cantidad exacta, es decir, sin decimales.

Uso de las fracciones mixtas

Las fracciones mixtas se suelen usar, principalmente, en un contexto más cotidiano, y no tanto en el ámbito académico o matemático.

Por ejemplo, imaginemos que se compran dos tortas para una fiesta, las cuales se dividen, cada una, en doce pedazos.

Si durante la reunión se consumen solo 9 pedazos, entonces lo común es decir que queda una torta completa y 1/4 (o 3/12) de la otra torta. Esto, en lugar de decir que quedan 15/12 de torta.

Cabe explicar que son quince pedazos los que quedan, porque son doce pedazos de la torta que está entera y 3 (que es el equivalente a 1/4 de 12) de la torta que está incompleta.