La semejanza de figuras y sus aplicaciones
Uno de los conceptos geométricos que suele crear cierta confusión es el de "semejanza".
Posiblemente, dicha confusión se deba a que en el lenguaje cotidiano utilizamos el término "semejante" como sinónimo de "parecido". Pero, parecido ¿en qué?, ¿en tamaño?, ¿en forma?...
En matemáticas "dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma pero distinto tamaño".
Observa las figuras del ejemplo siguiente:
Es cierto que a simple vista parecen semejantes, pero ¿realmente tienen la misma forma o solo lo parecen?
Matemáticamente se comprueba que tienen la misma forma cuando sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.
Si dividimos la medida de cada lado de la figura grande entre la medida de su lado correspondiente en la figura pequeña obtendremos una cantidad fija (en esta figura ese cociente es 3) que se llama razón de semejanza.
¿Cómo podemos dibujar figuras semejantes?
Para dibujar figuras semejantes podemos utilizar una transformación geométrica llamada homotecia:
Si la razón, k, es mayor que 0 se llama homotecia directa:
Si la razón, k, es negativa se denomina homotecia inversa:
Observa que en las homotecias directas las figuras semejantes quedan al mismo lado y en la misma posición que las originales mientras que en las inversas quedan al lado contrario y giradas respecto de las originales.
Fíjate qué forma más sencilla de dibujar un arbolito (gris) cuyos lados miden el triple (k=3) que los lados del original (verde):
¡Pero recuerda que la superficie que ocupa el árbol grande es 9 veces la superficie del pequeño!
La semejanza en la vida cotidiana
Veamos algunos ejemplos de la vida cotidiana en los que utilizamos el concepto de semejanza:
Una fotografía de tamaño 10x15 cm y su ampliación a tamaño 40x60 cm. son semejantes y guardan la misma proporción tanto a lo ancho como a lo largo (k = 4)
Un topógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para lo que utiliza un mapa. La escala utilizada es de 1:300000, es decir, un centímetro en el mapa representa 300000 cm = 3 km en la realidad.
La construcción de planos o maquetas a escala para edificios, aviones, barcos... requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, es decir, el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.
Razón de las áreas y volúmenes en figuras semejantes
Ya sabemos que si dos figuras son semejantes con razón de semejanza r, la razón entre las longitudes de segmentos de una de ellas y sus homólogos en la otra es r, pero ¿Qué pasa con las áreas y con los volúmenes?
Observa los siguientes gráficos:
Fíjate que las fórmulas anteriores son "lógicas":
- Cuando hallamos áreas multiplicamos dos longitudes (base por altura, lado por lado...) por lo que, si ambas longitudes se multiplican por r, el área quedará multiplicada por r y por r, es decir, por r al cuadrado.
- De igual modo, cuando hallamos volúmenes multiplicamos tres longitudes (lado al cubo, lado por lado por lado, área de la base por la altura...) por lo que, si las tres longitudes se multiplican por r, el volumen quedará multiplicado por r al cubo.
Semejanza en triángulos
En geometría se ha estudiado de una manera especial la semejanza de triángulos puesto que son figuras muy sencillas que aparecen en la descomposición de cualquier figura poligonal.
